Điều kiện đủ của cực trị và sai lầm khi giải đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2011

Trong Đề thi tốt nghiệp THPT 2011, Câu 2.3 yêu cầu tìm m để một hàm số bậc 3 cho sẵn đạt cực tiểu tại x=1. Đáp án chính thức sử dụng điều kiện đủ để hàm số cực trị để tìm ra m. Một bài toán đơn giản nhưng để làm đúng cần có sự nắm vững lí thuyết về cực trị hàm hàm một biến. Nhiều bạn thắc mắc liệu có thể viết được như sau không?

Tức là dấu tương đương ở trên là đúng hay sai?
Câu trả lời là SAI (Xem Điều kiện đủ của cực trị bên dưới).
Bạn làm đúng nếu bạn trình bày theo trình tự như đáp án chính thức hoặc bạn thử lại bằng tính toán trực tiếp sau khi tìm ra giá trị m nhờ định lí Fermat.


Điều kiện đủ của cực trị:
Cho hàm số y=f(x) có f'(a)=0 và f khả vi cấp 2 tại x=a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu (minimum point).
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại (maximum point). (iii) Nếu f'' (a) = 0 thì ta không có kết luận gì.


Ta có ví dụ minh họa cho phần (iii): Ta có với f(x)=x^3 ta có f''(0)=0 nhưng x= 0 không phải là điểm cực đại cũng không phải là điểm cực tiểu. Nếu f(x)=x^4 thì ta có x=0 là điểm cực tiểu nhưng f''(0)=0. Rõ ràng x=0 là điểm cực đại của hàm số f(x)=-x^4 nhưng f''(0)=0.

Khai thác thêm:
Nếu đạo hàm cấp 2 tại x=a bằng 0, ta cần kiểm tra các đạo hàm cấp cao hơn để đưa ra kết luận. Giả sử y''(a) = ... = y^n-1(a) = 0 và yⁿ(a)khác 0. Sử dụng khai triển Taylor ta đi đến kết quả.

Trường hợp 1: n là số chẵn.
Nếu y⁽ⁿ⁾(a) >0 thì a là điểm cực tiểu.
Nếu y⁽ⁿ⁾(a)< 0 thì a là điểm cực đại.

Trường hợp 2: n là số lẻ.
Lúc đó (x - a)ⁿ đổi dấu khi x di chuyển từ x < a sang x > a, và do đó nó là một điểm uốn.

Ví dụ:
y(x) = x⁵ có điểm dừng (stationary point) là x = 0.
y"(x) = 20x³; y"(0) = 0

y"'(x) = 60x²; y"'(0) = 0 : không có kết luận gì.

y''''(x) = 120x; y''''(0) = 0
y⁽⁵⁾(x) = 120; y⁽⁵⁾(0) = 120; n=5 là số lẻ và do đó x=0 là điểm uốn (inflection point).